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Mathématiques appliquées à l'informatique (MATH 1029)

Introduction

Ce cours initie l'étudiant aux connaissances des bases mathématiques utilisées en sciences informatiques et leurs applications ainsi qu’au développement du raisonnement mathématique dans la résolution des problèmes.

Durée

90 heures

Préalables/Particularités

Aucun préalable

Matériel requis

*** Veuillez prendre note que pour ce cours vous devez posséder un numériseur (scanner) ou un télécopieur (fax) pour compléter les évaluations.

Exigences générales du système

L'environnement de gestion de l'apprentissage utilisé est Blackboard^®, vous pouvez consulter les exigences de ce système en suivant le lien ci-dessous :

   Exigences techniques

Les lecteurs Flash^® et Reader^® d’Adobe peuvent être requis pour accéder à certains contenus, évaluations et exercices pratiques offerts dans les cours du programme.

Vous pouvez les télécharger gratuitement en suivant les liens ci-dessous :

Encadrement

Durant ce cours, l’encadrement se fera surtout par l’intermédiaire de la messagerie électronique. Au besoin, l’étudiant pourra aussi communiquer par téléphone. Les deux langues officielles sont supportées.

Plan de cours

Objectifs généraux

1.    Connaître les fondements des systèmes de numération
2.    Effectuer des opérations en binaire et en hexadécimal
3.    Connaître les principes de base de la représentation interne et les sources d’erreurs  associées à l’utilisation de l’ordinateur dans le traitement de données numériques
4.    Connaître et appliquer les rudiments de l’algèbre de Boole
5.    Connaître les caractéristiques fondamentales des fonctions
6.    Connaître et utiliser les fonctions exponentielles et logarithmiques
7.    Connaître les matrices et leurs applications.
8.    Résoudre des systèmes d’équations linéaires par différentes méthodes
      

Objectifs spécifiques

1.    Expliquer la structure d'un système positionnel de numération
2.    Déterminer la valeur décimale d'un nombre en système positionnel utilisant n'importe quelle base, en élaborant la représentation polynomiale
3.    Effectuer des conversions de nombres d'une base à l'autre
4.    Exprimer un nombre décimal en décimal codé binaire (dcb)
5.    Trouver la valeur décimale d’un nombre représenté en décimal codé binaire
6.    Comparer le dcb au binaire naturel en termes d'avantages et d'inconvénients
7.    Effectuer des additions en binaire
8.    Effectuer des soustractions en binaire
9.    Effectuer des multiplications en binaire
10.    Effectuer des divisions en binaire
11.    Définir comment est obtenu le complément à la base
12.    Trouver le complément à la base (10)2, d'un nombre binaire
13.    Trouver le complément à la base moins un (1)2, d'un nombre binaire
14.    Trouver le complément à la base, d'un nombre hexadécimal
15.    Trouver le complément à la base moins un, d'un nombre hexadécimal
16.    Effectuer des additions en hexadécimal
17.    Effectuer des soustractions ordinaires en hexadécimal
18.    Effectuer des soustractions par complémentation en binaire
19.    Effectuer des soustractions par complémentation en hexadécimal
20.    Représenter un entier décimal en binaire normalisé à 8 bits, par signe et module
21.    Trouver l'équivalent décimal d'un nombre binaire normalisé à 8 bits, par signe et module
22.    Représenter un entier décimal en binaire normalisé à 8 bits, par complément à 2
23.    Trouver l'équivalent décimal d'un nombre binaire normalisé à 8 bits, par complément à 2
24.    Représenter un entier décimal en binaire normalisé à 8 bits, par complément à 1
25.    Trouver l'équivalent décimal d'un nombre binaire normalisé à 8 bits, par complément à 1
26.    Représenter un entier décimal en binaire normalisé à 8 bits, par excès
27.    Trouver l'équivalent décimal d'un nombre binaire normalisé à 8 bits, par excès
28.    Additionner deux entiers décimaux en simulant l'opération d'un ordinateur qui utilise la représentation normalisée à 8 bits, par complément à 2
29.    Détecter les dépassements de capacité résultant d'une addition de deux entiers, pour un ordinateur utilisant la représentation normalisée à 8 bits, par complément à 2
30.    Expliquer la représentation d'un nombre décimal en mode réel à 32 bits en identifiant les composantes du format (signe, exposant, mantisse) et leur disposition
31.    Représenter des nombres décimaux en mode réel à 32 bits
32.    Additionner deux nombres décimaux en simulant l'opération d'un ordinateur qui utilise le mode réel normalisé, à 32 bits
33.    Décoder la réponse obtenue d'une addition en mode réel à 32 bits
34.    Nommer les trois principales sources d’erreur en analyse numérique
35.    Définir erreur absolue et erreur relative
36.    Déterminer l’erreur absolue et l’erreur relative commise en représentant un nombre fractionnaire avec un nombre donné de bits
37.    Définir incertitude absolue
38.    Déterminer l'incertitude absolue d'un nombre décimal obtenu par arrondi
39.    Déterminer l'incertitude absolue d'un nombre décimal obtenu par troncature
40.    Énoncer trois caractéristiques de la représentation en mode réel
41.    Dans la représentation des nombres décimaux en mode réel, calculer l’erreur absolue et l'erreur relative en arrondissant à un nombre donné de chiffres significatifs
42.    Dans la représentation des nombres décimaux en mode réel, calculer l’erreur absolue et l'erreur relative en tronquant à un nombre donné de chiffres significatifs
43.    Effectuer des opérations arithmétiques, en virgule flottante, base 10, avec un nombre de chiffres significatifs donné
44.    Définir ce qu'est un énoncé booléen
45.    Faire la distinction entre un énoncé booléen et une forme booléenne
46.    Nommer les trois opérateurs booléens de base
47.    Définir négation et en démontrer la table de vérité
48.    Définir conjonction et en démontrer la table de vérité
49.    Définir disjonction et en démontrer la table de vérité
50.    Définir disjonction exclusive et en démontrer la table de vérité
51.    Définir implication et en démontrer la table de vérité
52.    Relater l’utilité de l’algèbre des propositions en algorithmique
53.    Définir implication réciproque
54.    Définir implication contraposée
55.    Formuler une implication en utilisant la locution « si… alors… »
56.    Définir proposition biconditionnelle et en démontrer la table de vérité
57.    Définir tautologie et en démontrer la table de vérité
58.    Définir contradiction et en démontrer la table de vérité
59.    Définir implication logique
60.    Définir équivalence logique
61.    Reproduire le symbole représentant chacun des concepts suivants : Négation, conjonction, disjonction, disjonction exclusive, implication Biconditionnelle, tautologie, contradiction, implication logique et Équivalence logique
62.    Construire la table de vérité d’un énoncé booléen simple ou composé
63.    Exprimer par une phrase, un énoncé booléen
64.    Représenter avec des symboles, une phrase exprimant un énoncé booléen
65.    Vérifier la validité d’une équivalence logique à l’aide des tables de vérité
66.    Utiliser les propriétés des opérateurs booléens pour simplifier un énoncé composé
67.    Utiliser les propriétés des opérateurs booléens pour démontrer une équivalence logique
68.    Relater l'analogie entre l'algèbre des propositions et la théorie des ensembles
69.    Utiliser les propriétés des opérations sur les ensembles pour simplifier un énoncé composé désignant un ensemble
70.    Représenter par un diagramme de Venn différentes relations sur des ensembles àl’intérieur d’un ensemble universel défini
71.    Démontrer la validité d'une équation ensembliste en utilisant les diagrammes de Venn
72.    Démontrer la validité d'une équation ensembliste en utilisant les propriétés des opérations sur les ensembles
73.    Déterminer le complément d’un énoncé booléen ou ensembliste
74.    Représenter un circuit série et en faire la table de vérité
75.    Représenter un circuit parallèle et en faire la table de vérité
76.    Définir variable booléenne
77.    Définir fonction logique
78.    Décrire un circuit par une fonction logique
79.    Simplifier un circuit, à l'aide de sa fonction logique
80.    Simplifier un circuit en le représentant par un circuit équivalent
81.    Nommer les principales caractéristiques des relations et des fonctions
82.    Utiliser adéquatement le vocabulaire décrivant les principales caractéristiques des relations et des fonctions
83.    Distinguer relation et fonction à partir des propriétés et/ou des critères graphiques
84.    Trouver l’image ou la pré-image d’un élément par une relation
85.    Déterminer le domaine et le champ (co-domaine) d’une relation en partant de l’équation   qui la décrit
86.    Représenter graphiquement une relation, par un diagramme cartésien;
87.    Définir relation réciproque et fonction inverse
88.    Identifier les principales caractéristiques des fonctions affines (droites)
89.    Trouver l’équation de la droite passant par deux points donnés
90.    Trouver l’équation d’une droite de pente donnée passant par un point donné
91.    Identifier un phénomène descriptible par une fonction affine
92.    Identifier les variables indépendante et dépendante dans une application pratique des fonctions
93.    Définir le domaine de validité d’un modèle, selon le contexte
94.    Déterminer un modèle affine en partant de la représentation graphique
95.    Trouver un modèle linéaire, par régression, avec la méthode des moindres carrés (les formules sont données)
96.    Calculer les résidus, en comparant les valeurs réelles aux valeurs obtenues avec le modèle
97.    Commenter la validité d'un modèle affine à partir du calcul des résidus
98.    Calculer le coefficient de corrélation liant deux variables (la formule de corrélation est donnée)
99.    Commenter la validité d’un modèle affine à partir du coefficient de corrélation
100.    Utiliser le modèle affine pour trouver, par interpolation ou extrapolation, une valeur non mesurée
101.    Identifier ce qui caractérise un modèle exponentiel
102.    Esquisser le graphique d’une fonction exponentielle
103.    Construire un modèle exponentiel pour décrire le lien entre deux variables, dans des situations diverses
104.    Utiliser le modèle exponentiel décrivant le lien entre deux variables pour analyser  le phénomène en cause
105.    Définir ce qu’est une équation exponentielle
106.    Définir ce qu’est un logarithme
107.    Convertir une équation exponentielle en équation logarithmique et vice-versa
108.    Résoudre des équations exponentielles à l’aide des propriétés des exposants et des logarithmes
109.    Distinguer valeur future et valeur actuelle dans des problèmes de croissance de capital
110.    Distinguer taux nominal, taux périodique, dans des problèmes de croissance de capital
111.    Définir fonction exponentielle
112.    Définir fonction logarithmique
113.    Expliquer et illustrer graphiquement, la relation entre une fonction exponentielle et une fonction logarithmique
114.    Exploiter les liens, exponentiels ou logarithmiques, entre variables, dans l’analyse de situations diverses
115.    Définir ce qu’est une matrice en employant correctement les termes suivants : éléments, adresse et dimension
116.    Énoncer les conditions d’égalité de deux matrices
117.    Discerner si l’addition de deux matrices est possible et justifier
118.    Effectuer la somme de deux matrices de même dimension
119.    Multiplier une matrice par un scalaire
120.    Énoncer la condition préalable au produit matriciel
121.    Effectuer le produit matriciel de deux matrices satisfaisant à la condition préalable
122.    Utiliser le produit matriciel  dans les applications pratiques, en tenant compte du fait que celui-ci n’est pas commutatif
123.    Définir ce qu’est une matrice transposée
124.    Démontrer la propriété (A • B)t = Bt • At à l’aide de deux matrices
125.    Utiliser la représentation matricielle pour résoudre des problèmes
126.    Préciser ce qui fait que deux systèmes d’équations sont équivalents
127.    Décrire les différents types de solutions d’un système d’équations
128.    Définir ce qu’est un système d’équations linéaires homogène
129.    Nommer la condition essentielle pour valider la solution d’un système d’équations
130.    Vérifier la solution d’un système d’équations à l’aide de l’équation matricielle A • X = B
131.    Constituer la matrice augmentée d’un système d’équations
132.    Décrire les trois opérations élémentaires sur les lignes, utilisées dans la méthode de Gauss
133.    Résoudre des systèmes d’équations par la méthode de Gauss sous forme matricielle
134.    Expliquer ce que désigne l’expression équation “éliminable”
135.    Identifier les variables liées et les variables libres dans un système d’équations linéaires réduit à la forme échelonnée
136.    Déterminer la solution générale d’un système d’équations ayant une infinité de solutions
137.    Modéliser des situations concrètes à l’aide des systèmes d’équations et des matrices
138.    Résoudre des problèmes concrets en partant des modèles construits à l’aide des systèmes d’équations et des matrices
139.    Résoudre simultanément plusieurs systèmes d’équations par la méthode de Gauss-Jordan
140.    Définir matrice inverse
141.    Trouver la matrice inverse d’une  matrice donnée
142.    Vérifier la validité d’une matrice inverse à l’aide de la définition de la matrice inverse
143.    Résoudre un système d’équations à l’aide de la matrice inverse en utilisant le produit matriciel X = A-1 • B
144.    Résoudre simultanément deux systèmes d’équations ayant la même matrice des coefficients par la méthode de la matrice inverse
145.    Utiliser les différentes techniques de solutions apprises dans de diverses applications faisant appel aux matrices

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